Salve a tutti,
sto conducendo uno studio inerente la costruzione di modelli di ottimizzazione lineare e non lineare la cui risoluzione consenta, sotto le usuali assunzioni di un ambiente Black-Scholes (vale a dire
  • rendimenti logaritmici distribuiti secondo una normale [ne sto ipotizzando, in realtà, la normalità per il Teorema del Limite Centrale piuttosto che per un processo di prezzi associato al sottostante che evolve come un moto browniano geometrico - considerate il caso 1dimensionale];
  • indipendenza e identica distribuzione -> stazionarietà del secondo ordine),

di prezzare un'opzione di tipo Europeo (Europea, Asiatica, fixed lookback etc.) e/o di tipo Americano. Dopo esser giunto alla formalizzazione teorica dei modelli devo tradurli su macchina (Matlab). Tenete presente, tanto per avere un punto di riferimento, che la funzione obiettivo dei modelli implica (in tutta generalità) la minimizzazione del maggior arbitraggio possibile sul mercato, quest'ultimo espressione del differenziale (in modulo) tra il payoff dell'opzione a scadenza e il portafoglio di replica di Black-Scholes (stock+bond) valutato nello stesso istante. Sto considerando, qui, un'opzione di tipo Europe che non distribuisce dividendi.
Le variabili e i parametri che compaiono nel modello matematico da me scritto sono qui sotto:
- prezzo iniziale dello stock sottostante l'opzione (P0).
- strike price dell'opzione (K).
- maturity dell'opzione (T).
- media e deviazione standard dei rendimenti uniperiodali dello stock sottostante.
- media e deviazione standard dei log-rendimenti uniperiodali dello stock sottostante.
- media e deviazione standard dei rendimenti uniperiodali del bond.
- media e deviazione standard dei log-rendimenti uniperiodali del bond.
- xtS e xtBche indicano, rispettivamente, la quantità di denaro investita in t nello stock e nel bond.
- un parametro reale di avversione al rischio che è scelto dall'investitore in base alle sue preferenze (così da evitare un overfitting del modello). Chiamatelo Gamma.
Adesso devo dargli "un volto" numerico.
Per l'esperimento ho scelto di considerare la classica opzione su Eni, quindi vado sul mio bel Yahoo! Finance e clicco sullo storico dei prezzi per vedere quale sia il prezzo iniziale di un'azione Eni che fungerà da stock per il mio portafoglio di replica. Ho impostato il periodo 01-01-2009 --> 31-12-2019 con frequenza giornaliera, e vedo che al 1 gennaio il prezzo di chiusura è 19,51 mentre quello di chiusura aggiustato è 14,85. Primo dubbio: conviene scegliere secondo voi il prezzo di chiusura o il prezzo di chiusura aggiustato? Avendo considerato solo opzioni che non paghino dividendi ritengo sia coerente scegliere il prezzo di chiusura anziché quello aggiustato che tiene conto di eventuali stacchi o frazionamenti (altrimenti lo stacco intaccherebbe l'ipotesi di normalità dei log-rendimenti). Ok, mi scarico il CSV dei prezzi che parte da P0=19,51 al 1 gennaio a salire, e applico invece a scendere (partendo da un qualche istante t) Pt/Pt-1 per i rendimenti uniperiodali e ln(Pt/Pt-1) per i log-rendimenti uniperiodali. Estratte le mie osservazioni, sia per i primi che per i secondi, mi calcolo le rispettive medie e deviazioni standard. Restano medie e deviazioni standard dei rendimenti del bond. Secondo dubbio: è corretto secondo voi considerare come bond per il portafoglio di replica il classico btp a 10 anni (cioè usare lo storico dei prezzi del decennale per estrarre la serie dei rendimenti e log-rendimenti uniperiodali), oppure alla luce dello spread rispetto al bund decennale conviene usare quello tedesco come titolo risk-free? Infine un terzo dubbio (ma solo di carattere "tecnico", diciamo): c'è un modo per scaricare gli storici degli strike da Yahoo! Finance? Il tastino "Scarica" c'è soltanto per i prezzi...

Spero di essermi spiegato e di ricevere qualche risposta. Grazie in anticipo a tutti