Un quesito sulla determinazione del prezzo di una Call

[the learner]

Grazie mille! In questo caso quanto costerebbe la Put?

Due possibili payoff: 1 (con probabilità 40%) e 0 (con probabilità 60%). Il valore atteso è 1€*0.4 + 0€*0.6 = 0.4€. Dato il tasso risk free a 0%, 0.4€ sarà anche il prezzo da pagare oggi per la put.

[Cagalli Tiziano]

Bravo the learner! Spiegato moooolto bene.

[tucciotrader]

Due possibili payoff: 1 (con probabilità 40%) e 0 (con probabilità 60%). Il valore atteso è 1€*0.4 + 0€*0.6 = 0.4€. Dato il tasso risk free a 0%, 0.4€ sarà anche il prezzo da pagare oggi per la put.

Quindi una Call ATM prezza 0,60 e una Put ATM prezza 0,40?

Che succede se faccio +S-C+P ??

[the learner]

Quindi una Call ATM prezza 0,60 e una Put ATM prezza 0,40?

Che succede se faccio +S-C+P ??

Vediamo, cosa ti aspetti che succeda? Tieni conto che in qualche modo si sta stimando che il rialzo di S sia più probabile del ribasso ed il mercato delle opzioni prezza questo.

[tucciotrader]

Vediamo, cosa ti aspetti che succeda? Tieni conto che in qualche modo si sta stimando che il rialzo di S sia più probabile del ribasso ed il mercato delle opzioni prezza questo.

Ma il mercato come fa a prezzarlo? Io pensavo che la distribuzione di probabilità non prendesse parte nel calcolo dell'opzione, per questo avevo scelto 0,50 altrimenti perché mai i MM farebbero i MM?

[tucciotrader]

Provo a spiegarla così:

Compro mezza azione, quindi spendo 50 se S=101 allora vado a 50.5 ma devo 1 alla controparte quindi scendo a 49,5 se invece S=99 allora vado a 49,5 e perdo 0,5 sul capitale.

Ma in entrambi i casi ho incassato 0,6 quindi il tutto si compensa e porta a 0,10 il netto, quindi arbitraggio.

[the learner]

Ma il mercato come fa a prezzarlo? Io pensavo che la distribuzione di probabilità non prendesse parte nel calcolo dell'opzione, per questo avevo scelto 0,50 altrimenti perché mai i MM farebbero i MM?

Parliamo per il momento di prezzi teorici... per i prezzi di mercato è solo Tiziano che può darti una risposta corretta, noi possiamo solo fare ipotesi.

Ogni modello di pricing (come Black and Scholes ed il modello binomiale, ad esempio) fa sempre una precisa ipotesi sulla legge di probabilità che governa il sottostante. In particolare, il modello di B&S può essere visto come la versione in tempo continuo del modello binomiale. In quest'ultimo tu ad ogni step dici che il prezzo può salire o scendere dell'x% (con x che può essere anche diverso a seconda che si salga o si scenda) con una probabilità definita. In B&S hai infiniti possibili prezzi ad ogni step. E questi prezzi hanno, per ipotesi, una loro precisa distribuzione che li governa: la distribuzione lognormale (i cui momenti sono tra gli input che noi mettiamo nel modello).

Quindi, come vedi, anche nei modelli più semplici per il calcolo del prezzo di un'opzione hai sempre bisogno di una distribuzione. Questo perché vale quanto detto qualche post fa: il prezzo è il valore ATTESO attualizzato. L’aspettativa viene sempre fatta rispetto ad una precisa misura di probabilità.

Se tu dici che oggi S vale 100 e domani varrà 101 con probabilità 0.6 e 99 con probabilità 0.4 stai facendo una precisa ipotesi sulla distribuzione del prezzo e stai dicendo che il rialzo è più probabile del ribasso. E questo viene catturato dal modello di pricing che, di conseguenza, ti darà un prezzo che terrà già conto di questa aspettativa. Vedi, infatti, che il prezzo della Call è maggiore rispetto a quello della Put. Se il mercato si aspetta un rialzo, chi ti vende la Call è disposto a farlo solo ad un prezzo maggiore perché, pur parlando solo di probabilità e non di certezze, si aspetta anche lui un aumento e chiede più premio per venderti il rischio di un rialzo (il rischio più probabile, per ipotesi).

Secondo il mio punto di vista, se i MM avessero solo il ruolo di fornire liquidità al contratto, senza correre il pericolo di accollarsi un rischio che non riescono a trasferire ad altri, allora non ci sarebbe motivo per discostarsi tanto dai prezzi teorici. Quelle sono le probabilità del mercato e le opzioni, avendo le probabilità come input implicito, devono prezzare coerentemente.
Ma i MM corrono il rischio di esporsi su una direzione per cui devono farsi pagare di più per correre questo rischio. Non possono certo modificare le probabilità dell’evento, ma possono aumentare la variabile che controllano: la vola implicita.
Pensa al nostro caso. Il mercato attribuisce una probabilità pari al 60% al fatto che ci sarà un prezzo di 101 nel prossimo periodo. Col 40% di probabilità ci sarà il ribasso a 99. Le opzioni dovrebbero avere prezzi C100=0.6€ e P100=0.4€.

Si tratta di probabilità oggettive, valide al tempo della valutazione e calcolate sulla base del set informativo del mercato.

Il mercato quindi ritiene il ribasso meno probabile per cui decide di vendere P100 incassando 0.4€ su ogni contratto. Il MM deve mettersi in acquisto e si sta accollando il rischio di un rialzo senza riuscire a trasferirlo al mercato, visto che nessuno è disposto a comprare da lui le P100. Cosa può fare allora se anche lui ritiene probabile un rialzo? Deve muovere la vola implicita e “tentare” il mercato con prezzi appetibili sui contratti su cui è più esposto. Nel nostro caso abbasserà la vola sulle P100, per disincentivare la vendita del contratto da parte del mercato ed invogliarli ad acquistare i contratti che lui ha in portafoglio. A questo abbassamento della vola corrisponde, a parità di movimento della parte intrinseca del prezzo, una riduzione della parte estrinseca con il risultato di abbassare il prezzo totale. Quindi, implicitamente, il MM con il suo operato va a modificare in qualche modo le stesse probabilità associate all’evento.
Dunque, all’inizio il mercato si aspetta rialzo con probabilità 60%. Il MM è chiamato a rispondere all’operatività degli speculatori che stanno vendendo Put sulla base di questa aspettativa e si accolla il rischio di rialzo non riuscendolo a trasferire. Se, sulla base del suo set informativo (che è, molto probabilmente, il più completo tra quelli disponibili), ritiene inaccettabile questo rischio perché sa che il prezzo effettivamente salirà, deve modificare i prezzi in modo da invogliare il mercato ad accettare parte del rischio che vuole trasferire. Lo fa muovendo la vola implicita. Questi nuovi prezzi, quindi, sono lo specchio dell’aspettativa che il MM ha sul futuro movimento del prezzo. In qualche modo, se ha mosso il prezzo è perché il prezzo teorico calcolato all’inizio non era corretto, nel senso che non era adeguato a compensare il rischio che si sta assumendo. Le probabilità di un rialzo sono diventate effettivamente maggiori rispetto a quanto atteso dal mercato ed il MM trasmette questo messaggio via prezzi.
Queste sono le probabilità implicite di cui qualche volta ho parlato.


Sono solo mie ipotesi sulle motivazioni che possano portare i prezzi teorici a discostarsi dai prezzi di mercato. Esistono, cmq, modelli di pricing che sono maggiormente coerenti con la realtà e che cercano di catturare fenomeni come lo smile.

[tucciotrader]

Ma i MM corrono il rischio di esporsi su una direzione per cui devono farsi pagare di più per correre questo rischio. Non possono certo modificare le probabilità dell’evento, ma possono aumentare la variabile che controllano: la vola implicita.
Pensa al nostro caso. Il mercato attribuisce una probabilità pari al 60% al fatto che ci sarà un prezzo di 101 nel prossimo periodo. Col 40% di probabilità ci sarà il ribasso a 99. Le opzioni dovrebbero avere prezzi C100=0.6€ e P100=0.4€.

Ma sei proprio sicuro su questo? Secondo me il MM, fa semplicemente market making e non "vede" delle giocate.

Eppoi, il MM mi quota 0,60 la Call e mi permette di andare a casa con un free lunch, questo perché "avverte" un ipotesi del 60/40?

Se il MM non quota 50/50 mi sta regalando soldi...

[Cagalli Tiziano]

Sono solo mie ipotesi sulle motivazioni che possano portare i prezzi teorici a discostarsi dai prezzi di mercato. Esistono, cmq, modelli di pricing che sono maggiormente coerenti con la realtà e che cercano di catturare fenomeni come lo smile.

Io ho lavorato in un Market Maker e ti confermo che quelo che hai scritto rispecchia la realtà.
Bravo!
Ti dico anche che Doctor Price calcola il trend di breve proprio su queste logiche.

Pensare che un MM non veda i prezzi su cui è eseguito e non possa scegliere la vola allora significa che il soggetto MM accetta rischi che altri gli impongono.
Il MM deve sapere quale rischio assumere e che prezzo accettare per tale rischio, sbagliare questa valutazione porta a perdite di soldi. Ricordo il fallimento di un paio di anni fa di un MM italiano....Purtroppo non è riuscito a valutare bene i suoi rischi e si è assunto direzionalità.

[tucciotrader]

Casomai, visto che prezzate l'opzione 0,60 provate a usare black scholes mettendo come vola 1% (da 100 a 101 o 99) usando sottostante 100, strike 100 e durata 1YR con tassi e dividendi a zero. Uscirà un altro prezzo.