In ambito di pricing si è interessati a conoscere il valore atteso di un payoff ed a scontarlo all’istante di valutazione per conoscere il prezzo.
Se tu hai un opzione il cui payoff dipende dal livello raggiunto alla scadenza (o prima, ma qui le cose sono più complicate) da un sottostante S, hai bisogno di calcolare oggi un valore atteso del livello futuro di S e poi scontare il payoff atteso ad un opportuno tasso.
La dinamica di S può ad es essere descritta da un moto Browniano geometrico:
dS = mu*S*dt + sigma*S*dW
dove mu è il tasso medio di crescita di S e dW è l’incremento di un processo di Wiener. Dal momento che il drift del processo è quello reale,da stimare in qualche modo, dW ha valore atteso nullo solo sotto misura reale.
È tuttavia difficile avere una stima oggettiva del tasso mu, ed inoltre il processo dS non è una martingala sotto la misura reale. Una martingala è un processo a drift nullo, quindi tale per cui il valore atteso al tempo T è uguale al valore al tempo t (con t<T). Proprietà assai utile ai fini di pricing.
Allora si introduce il concetto di numerario di valutazione. In pratica il valore di S è espresso in termini di un’altra attività. Se usi come attività il money market account (MMA), entri nel fantastico mondo risk neutral. Ma di mondi ne esistono infiniti, a seconda del numerario scelto (molto usato è il forward risk neutral).
Neanche il processo seguito dal MMA è una martingala, infatti è del tipo:
dMMA = r*MMA*dt
Se però esprimi il processo dS in termini di dMMA, hai qualcosa del tipo dS/dMMA… Per trasformare questo processo in una martingala devi trovare il modo per sottrarre al processo dS una parte del drift affinchè questo diventi uguale a quello del MMA, quindi r*S*dt.
Rendendo il drift di S uguale a quello del MMA, hai trasformato S in qualcosa di riskfree. Ma la rischiosità di S deve essere “scaricata” da qualche parte.
Del resto, affinchè il valore atteso di dS sia r*S*dt, occorre che sotto la misura di probabilità associata al numerario scelto (in questo caso misura risk neutral), il termine di diffusione sigma*S*dW sia nullo.
Ma come detto prima, dW ha valore atteso nullo solo sotto misura di probabilità reale. Allora, il passaggio al nuovo processo del S, deve passare necessariamente attraverso un cambio di probabilità su cui scaricare la rischiosità di S.
Il passaggio da una misura all’altra avviene per mezzo del teorema di Girsanov, che collega due misure attraverso una variabile chiamata market price of risk (che, ahinoi, varia nel tempo). Una volta che hai il nuovo termine dW* da inserire nel processo, puoi simulare il processo dS* (quello scritto sotto la misura risk neutral) e, una volta determinati i payoff del contratto scritto su S, scontare al tasso risk free il tutto.
Il processo di sconto al tasso risk free è associato all’utilizzo del MMA come numerario… Ricordi che prima parlavo di processo dS/dMMA? Bene, se usi il processo dS*/dMMA hai esattamente questo: simuli dinamiche risk neutral per S (usando il processo dS*) e sconti i payoff usando il tasso risk free (qui entra in gioco il dMMA che vedi al denominatore).
Tutto questo spero chiarisca il motivo per cui se noi riuscissimo ad estratte le dinamiche seguite da S sotto la misura risk neutral non ce ne faremmo nulla ai fini di previsione. Quella è un’aspettativa che il mercato fa sotto una misura sintetica, di comodo, usata solo per agevolare il processo di pricing.
Un eventuale utilizzo ai fini di trading/previsione, richiede la conoscenza del processo dS (quello seguito sotto la misura reale) e non quello dS* (utile solo ai fini di ulteriori processi di pricing, ecco perché spesso si estrapola la dinamica dai prezzi dalle plain vanilla e li si usa per il pricing di prodotti più complessi).
Se tu hai un opzione il cui payoff dipende dal livello raggiunto alla scadenza (o prima, ma qui le cose sono più complicate) da un sottostante S, hai bisogno di calcolare oggi un valore atteso del livello futuro di S e poi scontare il payoff atteso ad un opportuno tasso.
La dinamica di S può ad es essere descritta da un moto Browniano geometrico:
dS = mu*S*dt + sigma*S*dW
dove mu è il tasso medio di crescita di S e dW è l’incremento di un processo di Wiener. Dal momento che il drift del processo è quello reale,da stimare in qualche modo, dW ha valore atteso nullo solo sotto misura reale.
È tuttavia difficile avere una stima oggettiva del tasso mu, ed inoltre il processo dS non è una martingala sotto la misura reale. Una martingala è un processo a drift nullo, quindi tale per cui il valore atteso al tempo T è uguale al valore al tempo t (con t<T). Proprietà assai utile ai fini di pricing.
Allora si introduce il concetto di numerario di valutazione. In pratica il valore di S è espresso in termini di un’altra attività. Se usi come attività il money market account (MMA), entri nel fantastico mondo risk neutral. Ma di mondi ne esistono infiniti, a seconda del numerario scelto (molto usato è il forward risk neutral).
Neanche il processo seguito dal MMA è una martingala, infatti è del tipo:
dMMA = r*MMA*dt
Se però esprimi il processo dS in termini di dMMA, hai qualcosa del tipo dS/dMMA… Per trasformare questo processo in una martingala devi trovare il modo per sottrarre al processo dS una parte del drift affinchè questo diventi uguale a quello del MMA, quindi r*S*dt.
Rendendo il drift di S uguale a quello del MMA, hai trasformato S in qualcosa di riskfree. Ma la rischiosità di S deve essere “scaricata” da qualche parte.
Del resto, affinchè il valore atteso di dS sia r*S*dt, occorre che sotto la misura di probabilità associata al numerario scelto (in questo caso misura risk neutral), il termine di diffusione sigma*S*dW sia nullo.
Ma come detto prima, dW ha valore atteso nullo solo sotto misura di probabilità reale. Allora, il passaggio al nuovo processo del S, deve passare necessariamente attraverso un cambio di probabilità su cui scaricare la rischiosità di S.
Il passaggio da una misura all’altra avviene per mezzo del teorema di Girsanov, che collega due misure attraverso una variabile chiamata market price of risk (che, ahinoi, varia nel tempo). Una volta che hai il nuovo termine dW* da inserire nel processo, puoi simulare il processo dS* (quello scritto sotto la misura risk neutral) e, una volta determinati i payoff del contratto scritto su S, scontare al tasso risk free il tutto.
Il processo di sconto al tasso risk free è associato all’utilizzo del MMA come numerario… Ricordi che prima parlavo di processo dS/dMMA? Bene, se usi il processo dS*/dMMA hai esattamente questo: simuli dinamiche risk neutral per S (usando il processo dS*) e sconti i payoff usando il tasso risk free (qui entra in gioco il dMMA che vedi al denominatore).
Tutto questo spero chiarisca il motivo per cui se noi riuscissimo ad estratte le dinamiche seguite da S sotto la misura risk neutral non ce ne faremmo nulla ai fini di previsione. Quella è un’aspettativa che il mercato fa sotto una misura sintetica, di comodo, usata solo per agevolare il processo di pricing.
Un eventuale utilizzo ai fini di trading/previsione, richiede la conoscenza del processo dS (quello seguito sotto la misura reale) e non quello dS* (utile solo ai fini di ulteriori processi di pricing, ecco perché spesso si estrapola la dinamica dai prezzi dalle plain vanilla e li si usa per il pricing di prodotti più complessi).
grazie della spiegazione, un po\' avanzata per me ma complimenti per il tipo di interessi
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