Occhio alla premessa! 
PREMESSA: se non si è interessati al discorso logico che porta al calcolo, per la risposta andare direttamente alle ultime sei righe del post.
In finanza il prezzo di qualsiasi contratto è sempre il valore attuale del payoff atteso. Questo significa che il prezzo teorico è la risposta alla domanda “data una certa aspettativa su quanto varrà il contratto a scadenza (payoff atteso), quanto sei disposto a pagare oggi (valore attuale del payoff atteso)?”.
Quindi hai due problemi: calcolare il valore atteso del contratto a scadenza ed attualizzare questo valore atteso ad oggi (istante in cui valuti il prezzo teorico). Il primo problema implica il dover trovare le probabilità da associare ai diversi possibili eventi che si possono verificare (nel tuo caso 2 eventi: prezzo del sottostante 101 o 99); il secondo problema implica il dover trovare il giusto tasso d’interesse a cui scontare questa tua aspettativa.
Logica vorrebbe che si stimino, in qualche modo, le probabilità reali associate ai possibili eventi futuri e che si trovi il giusto tasso per lo sconto.
Esistono difficoltà su entrambi i fronti, ma soprattutto sul secondo perché la rischiosità è soggettiva.
La rischiosità di un’operazione può essere incorporata sia nelle probabilità associate agli eventi che nel tasso a cui sconti il tutto. Basti pensare ad un bond che paga 100 a scadenza. Se questo bond è emesso da un soggetto non a rischio default il valore atteso dello strumento è 100 (qualsiasi evento accada tu devi pesare questo 100 per la probabilità reale di accadimento, ma qualsiasi sia l’evento tu hai sempre 100 quindi sostanzialmente 100 è anche il tuo valore atteso). Per conoscere il prezzo devi portare ad oggi questo valore atteso. Quindi, prendi il 100 e lo attualizzi usando un giusto tasso d’interesse. In questo caso, il tasso giusto è il tasso risk free. Nel caso banale di tasso pari a 0%, il prezzo di un simile strumento non può che essere 100.
Se però introduci l’elemento rischio le cose cambiano un po’. Da un lato hai che i possibili payoff non saranno sempre 100 (avrai scenari di default o ristrutturazione che avranno una determinata probabilità di accadimento) e dall’altro il valore atteso non puoi più scontarlo al tasso risk free perché questa operazione è, per definizione, non risk free. Quindi questo non sarebbe il tasso giusto.
Come calcolare questo tasso? Eh, qui si apre un mondo. Ma c’è una strada molto utile che prevede un ragionamento di questo tipo. La rischiosità, come detto, è incorporata sia nelle probabilità che usi per calcolare l’aspettativa sia nel tasso che usi per scontare ad oggi. Dato un prezzo di un contratto rischioso, allora, puoi usare il tasso risk free per scontare ma trasferire il rischio (che non viene incorporato più nel tasso a cui sconti) dal tasso alle probabilità.
Un tasso d’interesse su un’operazione rischiosa ha due componenti: la componente risk free ed una componente aggiuntiva che puoi chiamare premio per il rischio (quindi ciò che chiedi in aggiunta al tasso privo di rischio per accollarti il rischio dell’operazione).
Le probabilità che finora abbiamo visto solo le probabilità reali dell’evento. Ad esempio, nel lancio di una monetina tu hai il 50% di probabilità reale di avere testa. Questa è una probabilità reale perché è il risultato della legge di probabilità che governa il fenomeno “lancio della monetina” nel mondo reale.
Ma se tu togli al tasso rischioso la sua componente di premio per il rischio, allora devi scaricare questo rischio su una qualche misura.
Se è chiaro che, dati i possibili payoff di un contratto rischioso, il prezzo è funzione delle probabilità reali che associ ai possibili eventi e del tasso rischioso che usi per scontare questo valore atteso, allora se tu anziché usare questo tasso rischioso (perché difficile da calcolare) volessi usare il tasso risk free, la rischiosità “remunerata” dal premio per il rischio viene scaricata sull’unica misura che puoi variare: le probabilità reali.
Quando queste probabilità reali sono chiamate ad incorporare anche la rischiosità associata al premio per il rischio, hai una nuova misura di probabilità che è sintetica, creata ad hoc per favorire il pricing del contratto. Non è quindi una misura reale perché non è il frutto di una legge di probabilità che governa il fenomeno nel mondo reale.
Pensa alla monetina. Hai un contratto che paga tra 1 periodo 1 se esce testa (con probabilità reale 50%) e 0 altrimenti (con probabilità reale 50%) e che ha un tasso rischioso del 10%. Il prezzo oggi lo puoi calcolare prendendo il valore attuale reale (0.5*1€ + 0.5*0€ à 0.5€) ed attualizzarlo ad oggi col tasso rischioso del 10%. Avresti quindi circa 0.45€ (= 0.5€ / (1 + 10%) ) e, diciamo, questo prezzo teorico è in linea con il prezzo di mercato. Ma se tu non conoscessi il tasso rischioso perché ti è difficile sapere a quanto ammonta il premio per il rischio? Come fai a prezzare il contratto?
Tu saprai sempre a quanto ammonta il tasso privo di rischio. Mettiamo sia il 3% (per cui nel nostro esempio deduci che il premio per il rischio sia del 7%). Qualunque metodo di pricing tu scelga il prezzo deve venire vicino a 0.45€. Se usassi il tasso privo di rischio (3%) visto che è l’unico che conosco, ma mantenessi uguali le probabilità (quindi continuerei ad usare le probabilità reali associate al lancio della monetina), avrei un prezzo pari a 0.49€ (= 0.5€ / (1 + 3%) ). Il prezzo è più alto perché abbiamo eliminato la componente di rischio che prima veniva remunerata dal premio per il rischio. Ma il contratto è rischioso per cui, se vogliamo continuare ad usare il tasso risk free per scontare (perché ci risulta conveniente farlo dal momento che ci evita di stimare il premio per il rischio) allora dobbiamo scaricare il rischio sulle probabilità! Abbandoniamo le probabilità reali e passiamo a quelle sintetiche (le uniche che contano nel tradizionale mondo del pricing). Il passaggio alla nuova misura lo risparmio considerato il fine informativo del mio messaggio ma, in questo semplice caso, avresti due nuove misure sintetiche associate ai due eventi. Uscirà testa con probabilità 46% (sebbene la probabilità reale fosse pari 50%) e croce con probabilità 54% (sebbene la probabilità reale fosse 50%). Con queste nuove probabilità posso calcolare il nuovo valore atteso: (0.46*1€ + 0.54*0€) = 0.46€.Questo valore atteso incorpora già tutta la rischiosità dell’operazione per cui il suo valore attuale lo posso calcolare usando il nostro tasso risk free: 3%.
Ottengo dunque il prezzo di 0.45€ (= 0.46€ / (1 + 3%) ).
Scusandomi per la lunghezza di questo messaggio, vengo al punto. Tu hai due possibili payoff: 1 (con probabilità 60%) e 0 (con probabilità 40%). Il valore atteso è 1*0.6 + 0*0.4 = 0.6€. Avendo un tasso rischioso pari a 0% (quindi 0% è la somma del tasso risk free pari a 0% e del premio per il rischio pari a 0%), le probabilità reali coincidono con quelle sintetiche per cui quello è esattamente il payoff atteso che avresti anche nel mondo sintetico. Dato il tasso risk free a 0%, 0.6€ sarà allora anche il prezzo da pagare oggi per questo contratto.
PREMESSA: se non si è interessati al discorso logico che porta al calcolo, per la risposta andare direttamente alle ultime sei righe del post.
In finanza il prezzo di qualsiasi contratto è sempre il valore attuale del payoff atteso. Questo significa che il prezzo teorico è la risposta alla domanda “data una certa aspettativa su quanto varrà il contratto a scadenza (payoff atteso), quanto sei disposto a pagare oggi (valore attuale del payoff atteso)?”.
Quindi hai due problemi: calcolare il valore atteso del contratto a scadenza ed attualizzare questo valore atteso ad oggi (istante in cui valuti il prezzo teorico). Il primo problema implica il dover trovare le probabilità da associare ai diversi possibili eventi che si possono verificare (nel tuo caso 2 eventi: prezzo del sottostante 101 o 99); il secondo problema implica il dover trovare il giusto tasso d’interesse a cui scontare questa tua aspettativa.
Logica vorrebbe che si stimino, in qualche modo, le probabilità reali associate ai possibili eventi futuri e che si trovi il giusto tasso per lo sconto.
Esistono difficoltà su entrambi i fronti, ma soprattutto sul secondo perché la rischiosità è soggettiva.
La rischiosità di un’operazione può essere incorporata sia nelle probabilità associate agli eventi che nel tasso a cui sconti il tutto. Basti pensare ad un bond che paga 100 a scadenza. Se questo bond è emesso da un soggetto non a rischio default il valore atteso dello strumento è 100 (qualsiasi evento accada tu devi pesare questo 100 per la probabilità reale di accadimento, ma qualsiasi sia l’evento tu hai sempre 100 quindi sostanzialmente 100 è anche il tuo valore atteso). Per conoscere il prezzo devi portare ad oggi questo valore atteso. Quindi, prendi il 100 e lo attualizzi usando un giusto tasso d’interesse. In questo caso, il tasso giusto è il tasso risk free. Nel caso banale di tasso pari a 0%, il prezzo di un simile strumento non può che essere 100.
Se però introduci l’elemento rischio le cose cambiano un po’. Da un lato hai che i possibili payoff non saranno sempre 100 (avrai scenari di default o ristrutturazione che avranno una determinata probabilità di accadimento) e dall’altro il valore atteso non puoi più scontarlo al tasso risk free perché questa operazione è, per definizione, non risk free. Quindi questo non sarebbe il tasso giusto.
Come calcolare questo tasso? Eh, qui si apre un mondo. Ma c’è una strada molto utile che prevede un ragionamento di questo tipo. La rischiosità, come detto, è incorporata sia nelle probabilità che usi per calcolare l’aspettativa sia nel tasso che usi per scontare ad oggi. Dato un prezzo di un contratto rischioso, allora, puoi usare il tasso risk free per scontare ma trasferire il rischio (che non viene incorporato più nel tasso a cui sconti) dal tasso alle probabilità.
Un tasso d’interesse su un’operazione rischiosa ha due componenti: la componente risk free ed una componente aggiuntiva che puoi chiamare premio per il rischio (quindi ciò che chiedi in aggiunta al tasso privo di rischio per accollarti il rischio dell’operazione).
Le probabilità che finora abbiamo visto solo le probabilità reali dell’evento. Ad esempio, nel lancio di una monetina tu hai il 50% di probabilità reale di avere testa. Questa è una probabilità reale perché è il risultato della legge di probabilità che governa il fenomeno “lancio della monetina” nel mondo reale.
Ma se tu togli al tasso rischioso la sua componente di premio per il rischio, allora devi scaricare questo rischio su una qualche misura.
Se è chiaro che, dati i possibili payoff di un contratto rischioso, il prezzo è funzione delle probabilità reali che associ ai possibili eventi e del tasso rischioso che usi per scontare questo valore atteso, allora se tu anziché usare questo tasso rischioso (perché difficile da calcolare) volessi usare il tasso risk free, la rischiosità “remunerata” dal premio per il rischio viene scaricata sull’unica misura che puoi variare: le probabilità reali.
Quando queste probabilità reali sono chiamate ad incorporare anche la rischiosità associata al premio per il rischio, hai una nuova misura di probabilità che è sintetica, creata ad hoc per favorire il pricing del contratto. Non è quindi una misura reale perché non è il frutto di una legge di probabilità che governa il fenomeno nel mondo reale.
Pensa alla monetina. Hai un contratto che paga tra 1 periodo 1 se esce testa (con probabilità reale 50%) e 0 altrimenti (con probabilità reale 50%) e che ha un tasso rischioso del 10%. Il prezzo oggi lo puoi calcolare prendendo il valore attuale reale (0.5*1€ + 0.5*0€ à 0.5€) ed attualizzarlo ad oggi col tasso rischioso del 10%. Avresti quindi circa 0.45€ (= 0.5€ / (1 + 10%) ) e, diciamo, questo prezzo teorico è in linea con il prezzo di mercato. Ma se tu non conoscessi il tasso rischioso perché ti è difficile sapere a quanto ammonta il premio per il rischio? Come fai a prezzare il contratto?
Tu saprai sempre a quanto ammonta il tasso privo di rischio. Mettiamo sia il 3% (per cui nel nostro esempio deduci che il premio per il rischio sia del 7%). Qualunque metodo di pricing tu scelga il prezzo deve venire vicino a 0.45€. Se usassi il tasso privo di rischio (3%) visto che è l’unico che conosco, ma mantenessi uguali le probabilità (quindi continuerei ad usare le probabilità reali associate al lancio della monetina), avrei un prezzo pari a 0.49€ (= 0.5€ / (1 + 3%) ). Il prezzo è più alto perché abbiamo eliminato la componente di rischio che prima veniva remunerata dal premio per il rischio. Ma il contratto è rischioso per cui, se vogliamo continuare ad usare il tasso risk free per scontare (perché ci risulta conveniente farlo dal momento che ci evita di stimare il premio per il rischio) allora dobbiamo scaricare il rischio sulle probabilità! Abbandoniamo le probabilità reali e passiamo a quelle sintetiche (le uniche che contano nel tradizionale mondo del pricing). Il passaggio alla nuova misura lo risparmio considerato il fine informativo del mio messaggio ma, in questo semplice caso, avresti due nuove misure sintetiche associate ai due eventi. Uscirà testa con probabilità 46% (sebbene la probabilità reale fosse pari 50%) e croce con probabilità 54% (sebbene la probabilità reale fosse 50%). Con queste nuove probabilità posso calcolare il nuovo valore atteso: (0.46*1€ + 0.54*0€) = 0.46€.Questo valore atteso incorpora già tutta la rischiosità dell’operazione per cui il suo valore attuale lo posso calcolare usando il nostro tasso risk free: 3%.
Ottengo dunque il prezzo di 0.45€ (= 0.46€ / (1 + 3%) ).
Scusandomi per la lunghezza di questo messaggio, vengo al punto. Tu hai due possibili payoff: 1 (con probabilità 60%) e 0 (con probabilità 40%). Il valore atteso è 1*0.6 + 0*0.4 = 0.6€. Avendo un tasso rischioso pari a 0% (quindi 0% è la somma del tasso risk free pari a 0% e del premio per il rischio pari a 0%), le probabilità reali coincidono con quelle sintetiche per cui quello è esattamente il payoff atteso che avresti anche nel mondo sintetico. Dato il tasso risk free a 0%, 0.6€ sarà allora anche il prezzo da pagare oggi per questo contratto.
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