Per comprendere il Payoff di una figura

[Mauro]

Sempre chiarissimo, ancora complimenti.
Pensi ora di passare alla combinazione opzioni/future?
camillo

Si Camillo,
direi che i tempi ...
... sono maturi!

[Camillo]

Si Camillo,
direi che i tempi ...
... sono maturi!

Molto bene!
Direi alla grande!!!!!

[Mauro]

Put contro Put sintetica

Consideriamo la vendita di una put contro la vendita di una put sintetica. Le figure sintetiche, per chi non le conoscesse, sono quelle figure che replicano una determinata figura base ma attraverso la combinazione di due o più strumenti. Il payoff di una put venduta, ad esempio, è quello mostrato dalla figura successiva.

[Mauro]

La costruzione di una put venduta sintetica, invece, si ottiene vendendo una call ed acquistando un future (questo se opzioni e future condividono lo stesso sottostante, come nel caso dell\'EuroStoxx o del Bund; nel caso del Dax, ad esempio, occorrerà vendere 5 call ed acquistare un future).


La figura successiva mostra il payoff di questa combinazione. Come si può osservare è praticamente indistinguibile dalla figura precedente. In questa, per meglio comprenderla, ho evidenziato le legs della strategia: la verde corrisponde alla vendita della call; la bianca è associata all\'acquisto del future; la bleu è il payoff della combinazione successiva (la rossa è la curva dell\'at-now).

[Mauro]

Tale equivalenza, naturalmente, vale per tutti i parametri che caratterizzano un\'opzione, primi fra tutti le greche. Sorge allora spontanea la domanda: quando e se, conviene l\'una piuttosto che l\'altra. Diremo qualcosa in proposito al termine di questo intervento.
Per il momento concentriamoci sulla costruzione del payoff.

[Mauro]

Per ciò che concerne il payoff di una put venduta, questo è stato già presentato nel post #70 (oltre che nel pdf riepilogativo).

Con la stessa simbologia, cerchiamo ora di costruire il payoff di una put venduta in modo sintetico.
Abbiamo detto che questa è costituita dall\'acquisto di un future, che ha equazione:

f = 10 S - 10 S0

(dove S0 è il valore del future al momento dell\'acquisto)

e dalla vendita di una call, per la quale scriviamo:

c=cp

per ST< K

(ovvero, se il sottostante a scadenza, ST, sarà inferiore allo strike, K, il nostro payoff sarà pari a cp, che equivale al premio incassato).

e:

c=-(ST-K)10 + cp

per ST > K

(ovvero, se il sottostante a scadenza, ST, sarà superiore allo strike, K, il nostro payoff sarà pari alla differenza tra cp, il premio incassato, e la differenza tra il sottostante e lo strike moltiplicata per il valore del punto).

[Mauro]

Ed ora ricaviamo le equazioni del payoff di questa put venduta. Dobbiamo distinguere, a scadenza, i due casi:


a) ST< K (valore del sottostante, a scadenza, inferiore allo strike)

b) ST > K (valore del sottostante, a scadenza, superiore allo strike)

[Mauro]

Caso a)

L\'equazione del future, essendo quella di una retta, assume sempre lo stesso valore, sia nel caso a) che nel caso b). La ricordiamo:

f = 10 S - 10 S0

L\'equazione della call venduta, invece, essendo una spezzata assume due equazioni diverse, una per ognuno dei due casi. Nel caso a) vale:

c=cp

Sommiamo, quindi, membro a membro, ed otteniamo:

f +c = 10 S - 10 S0 + cp

che possiamo anche riscrivere:

p = 10 ST - 10 S0 + cp

avendo indicato con p il payoff della combinazione delle due figure, equivalente alla put venduta sintetica, ed avendo sostituito S con ST, in quanto a scadenza il sottostante S vale ST.
Esaminiamo questa equazione. Si tratta di una retta ascendente, col medesimo coefficiente angolare (10) e con un\'intercetta (o termine noto) pari a:

- 10 S0 + cp

In pratica, la retta che identificava il future è ora stata traslata verso l\'alto della quantità cp, ovvero del premio incassato dalla vendita della call.

[Mauro]

Caso b)

Non riscrivo l\'equazione del future, che è sempre la stessa, anche per questo secondo caso. L\'equazione della call venduta, invece, in questo caso è:

c=-(ST-K)10 + cp

Procediamo come nel caso precedente, sommando membro a membro, ed otteniamo:

f +c = 10 S - 10 S0 - (ST-K)10 + cp

che riscriviamo:

p = 10 ST - 10 S0 - (ST-K)10 + cp

operando le opportune semplificazioni:

p = 10 K- 10 S0 + cp

che, se si osserva con attenzione, è la somma algebrica di tre costanti: lo strike della call venduta, il valore del future al momento del suo acquisto (entrambi moltiplicati per 10) ed il premio incassato dalla vendita della call.

[Mauro]

Verifichiamo il tutto con un esempio (non consideriamo le commissioni, per semplicità).

Vendiamo una call sull\'indice EuroStoxx 50, scadenza ottobre 2011, strike 2300, per punti 66.

Quindi:
K = 2300
cp=660

Il payoff è quello riportato in figura.

[Mauro]

Ed ora acquistiamo un future nel momento in cui il suo valore è 2310. Quindi:

S0=2310

La figura mostra il relativo payoff.

[Mauro]

Ed ora mettiamo tutto assieme. Prima di osservare la figura risultante facciamo un paio di calcoli. Se a scadenza il valore del sottostante sarà inferiore a 2300 (è il caso a. della precedente discussione) il payoff dovrà essere:

p = 10 ST - 10 S0 + cp

si tratta di una retta ascendente. Calcoliamone un punto. Supponiamo che il valore del sottostante, a scadenza, sia: 2250.4 . Allora avremo:

p = 22504 - 23100 + 660 = 64

[Mauro]

Se invece, a scadenza, il valore del sottostante sarà superiore a 2300 (è il caso b. della discussione già esaminata) il payoff dovrà essere:

p = 10 K- 10 S0 + cp

Si tratta di una costante il cui valore è:

p = 23000 - 23100 + 660 = 560

[Mauro]

Ed ora possiamo osservare la figura risultante. Prima quella inerente il caso a). I tre centesimi mancanti sono dovuti alle approssimazioni che FiutoPro deve necessariamente eseguire.

[Mauro]

Poi quella afferente il caso b). Qui non c\'è nessun errore di approssimazione.