Per comprendere il Payoff di una figura

[Mauro]

Grazie a te Mauro per il tempo che ci dedichi , leggo con vivo interesse ciò che scrivi e posso immaginare quanto tempo ti sottrae .Trasmetti con (matematica) precisione e con una chiarezza (che pochi hanno in dotazione) argomenti davvero interessanti .

Marco

Grazie a te, Marco, per i graditi apprezzamenti.

[DANYBONNYM]

Grazie a te Mauro per il tempo che ci dedichi , leggo con vivo interesse ciò che scrivi e posso immaginare quanto tempo ti sottrae .Trasmetti con (matematica) precisione e con una chiarezza (che pochi hanno in dotazione) argomenti davvero interessanti .

Marco

[Mauro]

Grazie a tutti voi: mi fa piacere che i questi interventi siano stati utili.

Sono lieto di aver portato avanti questo lavoro, nonostante il notevole tempo che mi ha sottratto.

E\' un modo, d\'altronde, per restituire alla comunità di PlayOptions quanto ho avuto modo di apprendere in questi anni, grazie alla disponibilità del maestro, in primis, e di tutti gli altri (pidi10, AZ13, ecc.) che si sono adoperati a favore dei neofiti.
Grazie ancora.

[Felix]

Mauro, desidero farti i miei complimenti per l\'ottimo lavoro che hai fatto.
Ho trovato utilissime le tue spiegazioni e ti ringrazio per il tempo dedicato a spiegare concetti che, grazie alla potenza di calcolo dei software a disposizione, si danno per scontati.
Ho trovato molto utile in particolare il discorso delle opzioni sintetiche.

:calp:

[Camillo]

per comprendere.....

Poi quella afferente il caso b). Qui non c\'è nessun errore di approssimazione.

Grazie Mauro, lavoro ben fatto.
Un paio di giorni per comprendere bene come cambia (e se cambia ) la linea At Now e poi, se non ti scoccio, mi faccio sentire.
Per adesso, ancora grazie.

[Mauro]

Poi quella afferente il caso b). Qui non c\'è nessun errore di approssimazione.

[Mauro]

Ed ora possiamo osservare la figura risultante. Prima quella inerente il caso a). I tre centesimi mancanti sono dovuti alle approssimazioni che FiutoPro deve necessariamente eseguire.

[Mauro]

Se invece, a scadenza, il valore del sottostante sarà superiore a 2300 (è il caso b. della discussione già esaminata) il payoff dovrà essere:

p = 10 K- 10 S0 + cp

Si tratta di una costante il cui valore è:

p = 23000 - 23100 + 660 = 560

[Mauro]

Ed ora mettiamo tutto assieme. Prima di osservare la figura risultante facciamo un paio di calcoli. Se a scadenza il valore del sottostante sarà inferiore a 2300 (è il caso a. della precedente discussione) il payoff dovrà essere:

p = 10 ST - 10 S0 + cp

si tratta di una retta ascendente. Calcoliamone un punto. Supponiamo che il valore del sottostante, a scadenza, sia: 2250.4 . Allora avremo:

p = 22504 - 23100 + 660 = 64

[Mauro]

Ed ora acquistiamo un future nel momento in cui il suo valore è 2310. Quindi:

S0=2310

La figura mostra il relativo payoff.

[Mauro]

Verifichiamo il tutto con un esempio (non consideriamo le commissioni, per semplicità).

Vendiamo una call sull\'indice EuroStoxx 50, scadenza ottobre 2011, strike 2300, per punti 66.

Quindi:
K = 2300
cp=660

Il payoff è quello riportato in figura.

[Mauro]

Caso b)

Non riscrivo l\'equazione del future, che è sempre la stessa, anche per questo secondo caso. L\'equazione della call venduta, invece, in questo caso è:

c=-(ST-K)10 + cp

Procediamo come nel caso precedente, sommando membro a membro, ed otteniamo:

f +c = 10 S - 10 S0 - (ST-K)10 + cp

che riscriviamo:

p = 10 ST - 10 S0 - (ST-K)10 + cp

operando le opportune semplificazioni:

p = 10 K- 10 S0 + cp

che, se si osserva con attenzione, è la somma algebrica di tre costanti: lo strike della call venduta, il valore del future al momento del suo acquisto (entrambi moltiplicati per 10) ed il premio incassato dalla vendita della call.

[Mauro]

Caso a)

L\'equazione del future, essendo quella di una retta, assume sempre lo stesso valore, sia nel caso a) che nel caso b). La ricordiamo:

f = 10 S - 10 S0

L\'equazione della call venduta, invece, essendo una spezzata assume due equazioni diverse, una per ognuno dei due casi. Nel caso a) vale:

c=cp

Sommiamo, quindi, membro a membro, ed otteniamo:

f +c = 10 S - 10 S0 + cp

che possiamo anche riscrivere:

p = 10 ST - 10 S0 + cp

avendo indicato con p il payoff della combinazione delle due figure, equivalente alla put venduta sintetica, ed avendo sostituito S con ST, in quanto a scadenza il sottostante S vale ST.
Esaminiamo questa equazione. Si tratta di una retta ascendente, col medesimo coefficiente angolare (10) e con un\'intercetta (o termine noto) pari a:

- 10 S0 + cp

In pratica, la retta che identificava il future è ora stata traslata verso l\'alto della quantità cp, ovvero del premio incassato dalla vendita della call.

[Mauro]

Ed ora ricaviamo le equazioni del payoff di questa put venduta. Dobbiamo distinguere, a scadenza, i due casi:


a) ST< K (valore del sottostante, a scadenza, inferiore allo strike)

b) ST > K (valore del sottostante, a scadenza, superiore allo strike)

[Mauro]

Per ciò che concerne il payoff di una put venduta, questo è stato già presentato nel post #70 (oltre che nel pdf riepilogativo).

Con la stessa simbologia, cerchiamo ora di costruire il payoff di una put venduta in modo sintetico.
Abbiamo detto che questa è costituita dall\'acquisto di un future, che ha equazione:

f = 10 S - 10 S0

(dove S0 è il valore del future al momento dell\'acquisto)

e dalla vendita di una call, per la quale scriviamo:

c=cp

per ST< K

(ovvero, se il sottostante a scadenza, ST, sarà inferiore allo strike, K, il nostro payoff sarà pari a cp, che equivale al premio incassato).

e:

c=-(ST-K)10 + cp

per ST > K

(ovvero, se il sottostante a scadenza, ST, sarà superiore allo strike, K, il nostro payoff sarà pari alla differenza tra cp, il premio incassato, e la differenza tra il sottostante e lo strike moltiplicata per il valore del punto).