Per comprendere il Payoff di una figura

[Mauro]

Siamo passati, quindi, da una rappresentazione tabellare ad una rappresentazione grafica. La variabile che stiamo esaminando, la temperatura, viene anche denominata variabile dipendente, o funzione. L\'altra variabile, in questo caso il tempo, è denominata variabile indipendente.

Abbiamo così fatto la conoscenza di due modalità di rappresentazione di una funzione: quella tabellare e quella grafica. Ne esiste anche una terza: la rappresentazione analitica. I matematici, quando si riferiscono ad una funzione generica, usano scrivere in questo modo:

y = f(x)

che si legge: "y è funzione di x"; ovvero, y dipende da x. Il ruolo svolto dalla funzione è assegnato alla variabile y, o variabile dipendente. La x, invece, è la variabile indipendente.

In campo sociologico, ad esempio, usano chiamare x, la causa; ed y, l\'effetto.

Nell\'esempio che abbiamo esaminato prima - il caso della temperatura funzione del tempo - potremmo scrivere, in forma analitica:

T = T(t)

T, la temperatura, è funzione del tempo. Ma quella appena scritta, va detto, non è una rappresentazione analitica esplicita. Quest\'affermazione sarà presto chiarita.

[Mauro]

Consideriamo una delle funzioni maggiormente note in matematica, la retta. La sua equazione generale (o rappresentazione analitica) è:

y = mx + q

dove x ed y svolgono il ruolo già detto (v. indipendente e v. dipendente), m è il coefficiente angolare e q è l\'intercetta, o termine noto.

Vediamo il caso dell\'equazione di una retta particolare:

y = 2x +3

(mi riprometto, con l\'intervento successivo, di far vedere come ricavare il grafico di una retta, nota la sua espressione analitica, e viceversa; per questa sera andiamo avanti così e non preoccupiamocene).

[Mauro]

La rappresentazione analitica di una funzione matematica è una modalità molto potente. Essa ci dice come calcolare il valore della y, una volta noto quello della x. Ad esempio, nel caso precedente, se:

x = 0
y = 3

se:

x = 1
y = 5

e così via.

Dicevo molto potente, in quanto essa ci dice tutto, ma proprio tutto di quella funzione. Cosa che non potrebbe dirci una rappresentazione tabellare. Una rappresentazione tabellare ci può mostrare solo un numero finito di coppie di valori (nell\'esempio della temperatura si trattava di 12 coppie). Ed allo stesso modo un grafico: ci farà vedere solo una parte dell\'andamento di una funzione. Invece la rappresentazione analitica ci descrive, come nell\'esempio appena esaminato della retta, un insieme infinito di coppie di valori: per questo, dicevo, è molto potente.

[Mauro]

Prima di passare alle opzioni rimangono un altro paio di questioni.

Oltre alla retta, naturalmente, esistono molti altri tipi di funzioni. Ad esempio la parabola, l\'iperbole, l\'ellisse, l\'esponenziale, il logaritmo, solo, per citarne alcune. Ognuna di queste funzioni, naturalmente, sarà rappresentata da una relazione analitica diversa da quella della retta. Solo per fare un esempio:

y = ax^2 + bx + c

è un trinomio di secondo grado che rappresenta una parabola.

[Mauro]

Ora, per non spaventare nessuno, dirò subito che per lavorare con il Payoff delle opzioni è sufficiente conoscere la retta; solo la retta.

Un discorso diverso, invece, è se uno volesse costruire la curva dell\'AtNow. In quel caso le cose si complicano.

Noi, invece, ci limiteremo esclusivamente al Payoff: ovvero al valore posseduto da un\'opzione alla sua scadenza.

[Mauro]

Dicevo, un paio di questioni. Ce ne manca un\'altra, per poter dire di aver dato una panoramica - seppur molto incompleta ma, sufficiente per i nostri scopi - sulle funzioni.

Prima di addentrarmi oltre provo a fare un riepilogo. Le modalità per rappresentare una funzione matematica sono tre:

a. tabellare;
b. grafica;
c. analitica.

Ora, chiediamoci: è sempre possibile disporre di tutte e tre le modalità di rappresentazione?
Prima di rispondere vi mostro un esempio.

[Mauro]

La figura 4 mostra il grafico del rumore elettrico presente ai capi di un componente elettronico. Si tratta di un grafico, è ben visibile a tutti. Possiamo disporre della rappresentazione tabellare? In qualche modo potremmo: dovremmo cercare di fare delle letture di alcune coppie delle variabili (x,y) e riportarle poi su una tabella.
E possiamo disporre della rappresentazione analitica? La risposta è no!


Vi sono variabili (in natura, come in campo economico) i cui andamenti non sono riconducibili ad espressioni analitiche note.

Lo stesso dicasi per il grafico di un titolo di borsa. Se potessimo conoscerne la relazione analitica saremmo a cavallo, non vi pare? Basterebbe inserire il valore della variabile tempo, fare i dovuti calcoli e poi, finalmente, sapremmo quale sarà il valore di quel titolo a quell\'ora.

[Mauro]

Nel caso del Payoff di un\'opzione, invece, le cose stanno diversamente: tutti sappiamo, infatti, che a scadenza quell\'opzione avrà un ben determinato valore (anche zero è un possibile valore, se scaduta OTM).
E\' quindi possibile attribuire a tale andamento una relazione analitica. Che vedremo successivamente.


Per questa sera mi fermo qui. Con l\'intervento successivo vorrei che prendessimo dimistichezza con i parametri di una retta: coefficiente angolare ed intercetta. In sostanza vorrei che fossimo in grado di disegnare una retta, a partire dalla sua relazione analitica e viceversa: ovvero, a partire dal grafico, scrivere la forma analitica della retta medesima.

Se ci sono domande ...
... non esitate.

[Cagliostro]

Avanti cosi\' e complimenti per la chiarezza espositiva

[borsaric]

OTTIMO MAURO!!!
MOLTO CHIARO E CONCISO!

[Mauro]

Grazie ragazzi, i complimenti sono sempre ben accetti.


Stasera metto giù la seconda parte. Ora porto giù il quadrupede, per la sua passeggiatina, e mi rilasso un momento: quest\'oggi i mercati mi hanno costretto a qualche intervento .

[Mauro]

La retta

Questo argomento fa parte di quella disciplina della matematica nota come geometria analitica. Ovviamente non tratterò tutto l\'argomento ma solo quelle parti che più ci possono servire per il raggiungimento dello scopo finale. Va da sè che chi volesse approfondirlo troverà in rete un nutrito numero di pubblicazioni sull\'argomento (Un sito per appassionati di matematica, con un forum di esperti e tanto materiale sulla disciplina, è: www.matematicamente.it : pensate che lo considero, per la matematica, al pari di playoptions per le opzioni).

Ma torniamo a noi.

[Mauro]

Dunque, nell\'intervento precedente abbiamo introdotto l\'equazione generale della retta:

y = mx + q

dove, come già indicato, m è il coefficiente angolare e q l\'intercetta o termine noto. Cerchiamo di capire qual\'è il significato di ciascuno di questi due parametri.

L\'intercetta rappresenta il punto, sull\'asse delle y (o asse delle ordinate), in cui la retta interseca l\'asse medesimo.

[Mauro]

Facciamo subito qualche esempio.

La figura 1 rappresenta la retta di equazione:

y = x + 5

Quanto vale l\'intercetta, o q, di questa retta? Evidentemente il suo valore è pari a 5. Bene, come si può notare dalla figura, la retta interseca l\'asse delle y proprio nel punto 5 (o, come bisognerebbe dire, di ordinata 5).

[Mauro]

La figura successiva, invece, illustra la retta di equazione:

y = x -3

Come si può osservare, anche in questo caso, la retta interseca l\'asse delle y nel punto di ordinata - 3.