Per comprendere il Payoff di una figura

[Mauro]

Ecco, sono partito dall\'intercetta in quanto, come avrete sicuramente capito, è il parametro (tra i due) più semplice da capire.



E se non ci fosse l\'intercetta? Per esempio come in questo caso:

y = 2x

Prima di vedere il grafico di questa retta, nella figura successiva, provate ad immaginare come potrebbe essere.

[Mauro]

Eccolo qua.



Ve lo eravate immaginato in questo modo? Credo (e spero) di si.



In sostanza la nostra retta passa per l\'origine degli assi (ovvero il loro punto di intersezione). Infatti, più correttamente, non è che l\'intercetta non c\'è (come ho affermato prima). Semplicemente è nulla. E quindi la retta taglierà l\'asse delle ordinate nel punto 0.

[Mauro]

Ed ora due casi particolari. Se il coefficiente angolare è nullo l\'equazione generale della retta diviene:

y = q

(quando poi discuteremo il coefficiente angolare cercheremo di capire che cosa significa m=0).
Come sarà fatto il grafico di tale retta? proviamo ad immaginarlo. Prendiamo come esempio:

y = 2

Che cosa significa? Che tutti i punti della retta hanno lo stesso valore dell\'ordinata. E allora? Come sarà il grafico di questa retta?

Eccolo qua. Siete d\'accordo?

[Mauro]

Secondo caso particolare.

x = k

E che cosa è successo qui? E\' sparita la y! E che cos\'è k? k è una costante (i matematici hanno spesso l\'abitudine di indicare le costanti con k. Non sempre, però!).

Che cosa significa x=k? Che tutti i punti della retta hanno lo stesso valore dell\'ascissa. E allora? Come sarà il grafico di una retta come:

x = 4 ?

Eccolo qua. Siete d\'accordo?

Direi che la questione intercetta la possiamo chiudere qui.

[Mauro]

Passiamo ora al coefficiente angolare. Soffermiamoci, per un istante, sulle parole. E\' chiaro perchè q è stata denominata intercetta? A questo punto credo di si.

Bene, il coefficiente angolare si chiama in questo modo in quanto ci dice quanto è inclinata una retta. Più è grande e maggiore sarà l\'inclinazione. Vediamo qualche esempio.

[Mauro]

Osservate.

La retta y=2x, che ha m=2, è più inclinata della retta y=x, che ha m=1.

Ma è meno inclinata della retta y=3x, che ha m=3.

Infine, la retta con m=0.5, è quella meno inclinata fra tutte.

E se m=0? Avremo una retta che non ha inclinazione (o inclinazione nulla!). Come quella riportata in figura 4.

[Mauro]

Qualcuno potrebbe chiedere: si ma quant\'è in gradi, quest\'angolazione?

Per rispondere a questa domanda occorre passare alla trigonometria, dopo aver dimostrato che il coefficiente angolare di una retta è pari alla tangente trigonometrica dell\'angolo che tale retta forma con l\'asse delle ascisse.

Per la retta y=x, ad esempio, m=1; se calcoliamo l\'arco la cui tangente è pari ad 1 troviamo 45° (potete provare con una calcolatrice scientifica; o anche con excel).

Ma per i nostri obiettivi la questione direi che non ci interessa (per fortuna!).

[Mauro]

E se il coefficiente angolare fosse negativo?


Vediamo, anche in questo caso, qualche esempio.

[Mauro]

Insomma, se il coefficiente angolare è positivo, allora la retta interesserà il I° ed il III° quadrante.

Viceversa, se è negativo, interesserà il II° ed il IV° quadrante (i quadranti sono indicati in figura 7).

[Mauro]

Per concludere la questione sul coefficiente angolare occorre, però, darne una definizione - direi - più operativa.

In sostanza, bisogna saper rispondere a questa domanda: ma se io ho il grafico di una retta, come determino il valore del coefficiente angolare?

Ecco la definizione. Dato un incremento della x, il coefficiente angolare è il rapporto tra il corrispondente incremento della y e l\'incremento della x medesimo.

[Mauro]

Vediamolo in figura 8.

Abbiamo scelto, quale incremento della x, l\'intervallo sull\'asse x, compreso tra i punti di ascissa 5 e 6. Il corrispondente intervallo sull\'asse delle ordinate è sempre tra i punti 5 e 6. Allora, calcoliamo gli incrementi:

Dx = 6 -5 = 1

Dy = 6- 5 = 1

m = Dy / Dx = 1 / 1 = 1

E, infatti, il coefficiente angolare di quella retta è proprio 1.



Qualcuno potrebbe obiettare:


ma il coefficiente angolare dipende dalla scelta che facciamo dell\'incremento Dx; e quindi è soggettivo!



E no, nel modo più assoluto. Provate, per esercizio, a prendere un incremento diverso della x: che so, tra 5 e 7. Poi valutate il corrispondente incremento della y, fatene il rapporto e troverete sempre 1. Provate!

[Mauro]

Ecco, credo che a questo punto ci siamo. Terminerei questo secondo intervento con alcuni esercizi. E\' bene che proviate a risolverli, per capire se i concetti esposti sono chiari.

Alla prossima!

Scrivere l\'equazione di ciascuna delle tre rette indicate in figura.

[antoniokk]

Io le scriverei cosi:
a) Y=1/2X+1
b) Y=2X-3
c) Y=-3X

[Mauro]

Ottimo Antonio. Esercizio corretto.

[Mauro]

Con questo terzo intervento vorrei concludere la parte matematica che ritengo necessaria per gli scopi proposti.
Due sono gli argomenti che intendo trattare:
a) espressione analitica di una spezzata;
b) grafico ed espressione analitica di una funzione che è somma di due o più funzioni.

Limiterò la trattazione di questi due argomenti al caso delle rette (o curve del primo ordine) perchè sono le funzioni che ci serviranno per analizzare il Payoff di un\'opzione, future o combinazione di questi. Naturalmente il discorso potrebbe essere fatto per curve di qualunque ordine.