Per comprendere il Payoff di una figura

[Mauro]

Partiamo.
Espressione analitica di una spezzata

Osserviamo il grafico riportato in figura 10. Si tratta di due andamenti distinti descritti dalle rette di equazione:

y = x +1

y = - x +1

Il primo di questi andamenti è valevole per tutti i punti di ascissa inferiore a 3. Il secondo per tutti quelli superiori a 3.

Convenzionalmente i matematici rappresentano quest\'unica funzione con quella doppia scrittura, preceduta da una parentesi graffa, così come ho indicato nella figura in esame.

[Mauro]

Come ho già anticipato è possibile avere una funzione che in un determinato intervallo assume l\'andamento di una parabola ed in un altro quello di una sinusoide (come indicato nella figura 11). Ma per gli scopi di questo thread la questione non ci interessa (diverso, invece, è il caso in cui volessimo disegnare il grafico dell\'Atnow di un portafoglio di opzioni e future).

Bene. Su questo credo di aver detto tutto l\'essenziale. Naturalmente, se ci sono domande, non esitate.

[Mauro]

Grafico ed espressione analitica di una retta che è somma di due o più rette

Devo fare una doverosa premessa. Sappiamo che esistono sistemi, artificiali o in natura, che sono costituiti da sottosistemi. In taluni casi è possibile descrivere matematicamente il sistema partendo dalle descrizioni matematiche dei sottosistemi e sommandole tra loro. E\' il caso, anche se non lo dimostrerò, del portafoglio di un insieme di opzioni e/o future.

[Mauro]

Ora, supponiamo di avere un sistema molto semplice: costituito da due sottosistemi lineari. Supponiamo che una determinata variabile del primo sottosistema sia descritta dall\'equazione:

y = 2x + 3

e che la medesima variabile, ma del secondo sottosistema, sia descritta dall\'equazione:

y = x +1

In che modo sarà descritta la variabile in esame del sistema generale? Se sussistono quelle ipotesi di cui ho accennato prima (e che per il Payoff di un portafogli di opzioni sussistono) avremo:

y = 2x + 3 + x + 1

ovvero:

y = 3x + 4

[Mauro]

In generale:

y = m1x+q1

y = m2x+q2

y = (m1+m2)x + (q1+q2)

In sostanza,

il coefficiente angolare della funzione somma è la somma dei singoli coefficienti angolari;

e, analogamente,

l\'intercetta della funzione somma è la somma delle singole intercette.

[Mauro]

Vediamo un esempio.


Supponiamo di volere sommare le rette:

y = 3x - 2
y = x + 1

illustrate nella figura 12.

Che cosa otterremo?

[Mauro]

Il risultato è riportato nella figura 13.


Notate che la retta somma ha un coefficiente angolare maggiore di ciascuna delle due rette componenti (osservate come la sua inclinazione sia maggiore) ed un\'intercetta che è la somma algebrica delle due singole intercette (osservate che passa per il punto dell\'asse y di ordinata -1).

[Mauro]

Ed ora, a conclusione dell\'intervento odierno, proviamo a mettere assieme le conoscenze proposte: proviamo, cioè, ad eseguire la somma di due spezzate.

Consideriamo, dapprima, la spezzata riportata in figura 14 con la relativa equazione (ricorda qualcosa?)

E poi quella riportata in figura 15 (anche questa, dovrebbe risultare familiare!)

Ed ora proviamo ad eseguire la somma. Prima in forma simbolica e poi, anche in modo più intuitivo, in forma grafica.

[Mauro]

Per eseguire la somma di queste due funzioni occorre operare in questo modo. Innanzitutto vanno individuati gli intervalli della x che sono comuni ad entrambe le curve. In questo caso abbiamo tre intervalli:
1) x < 5 (x minore di 5 o, equivalentemente, x compreso tra meno infinito e 5)
2) 5 < x < 10 (x compreso tra 5 e 10)
3) x > 10 (x maggiore di 10 o, equivalentemente, x compreso tra 10 e più infinito)

Poi si esegue la somma delle due funzioni (come abbiamo fatto vedere in precedenza) in ciascuno dei tre intervalli.
Vediamolo nel dettaglio.

Intervallo: x < 5

In questo intervallo la prima funzione vale: -2, e la seconda funzione vale: - x + 7; la loro somma, pertanto, sarà: - x + 5.

Intervallo: 5 < x < 10

In questo intervallo la prima funzione vale: x - 7, e la seconda funzione vale: - x + 7; la loro somma, pertanto, sarà: 0.

Intervallo: x > 10

In questo intervallo la prima funzione vale: x - 7, e la seconda funzione vale: - 3; la loro somma, pertanto, sarà: x - 10.

Vediamo il risultato finale nella figura 16.

[Mauro]

Ed ora proviamo a fare la somma di queste due funzioni in modo grafico. Facciamo riferimento alla figura 17. La prima retta è stata riportata con un tratto bleu. La seconda con un tratto rosso. E la retta somma con un tratto nero a spessore doppio.

Concentriamoci su quel che accade nel primo intervallo: x<5. La prima retta è costante e vale -2; la seconda, invece, è variabile. La loro somma (provate ad immaginare di farla punto per punto), sarà ancora una retta variabile che dovrà essere traslata verso il basso di una quantità pari a 2. Provate a vedere, ad esempio, cosa accade nel puto di ascissa x=4. La prima retta, essendo costante, varrà -2. La seconda, sostituendo nella sua relazione analitica ( - x + 7 ) la x pari a 4, ci restituirà +3. La somma tra + 3 e - 2 ci darà 1. Più lungo a spiegarsi che a farlo vedere sul grafico!

E, in modo analogo, per ciascuno degli altri tre intervalli.

Vorrei che notaste una particolarità: nell\'intervallo centrale la somma delle due rette ci restituisce una quantità costante (ed in questo caso pari a 0). Perchè? Perchè i due coefficienti angolari sono eguali ma opposti e, quindi, la loro somma è nulla. Ho voluto evidenziare questa particolarità in quanto ci sarà molto utile quando ragioneremo sul Payoff delle opzioni.

Direi che con questo terzo intervento la parte matematica la possiamo considerare conclusa.
Alla prossima.

[Mauro]

Salve a tutti.

Con l\'intervento di oggi ci addentreremo nella descrizione analitica del Payoff delle sei figure base:


1) acquisto di un future;
2) vendita di un future;
3) acquisto di una call;
4) vendita di una call;
5) acquisto di una put;
6) vendita di una put.

[Mauro]

Prima, però, è necessario che completi una questione che sarebbe stato opportuno trattare in uno degli interventi precedenti e che ci tornerà utile nel prosieguo.

Si tratta di questo: come è legata l\'ascissa di intersezione di una retta con il proprio coefficiente angolare e con la propria intercetta?

Mi spiego meglio con un grafico. Il punto in cui la retta interseca l\'asse delle x, che ho indicato in figura con x0, non compare in modo esplicito tra i parametri della retta: m e q. Come possiamo, allora, calcolare tale punto? O, anche, come possiamo legare tale punto ai valori di m e q?

[Mauro]

Seguitemi un momento e lo vedremo subito. Tale punto, essendo ubicato sull\'asse delle x, deve necessariamente avere un\'ordinata pari a zero. Sarà sufficiente, quindi, imporre nell\'equazione generale della retta:

y = 0

e risolvere rispetto ad x. In sostanza, dovremo risolvere l\'equazione:

0 = mx + q

che conduce a:

x = -q/m

Quindi, indicando con x0, l\'ascissa dell\'intersezione della retta con l\'asse x, avremo:

x0 = -q/m

Vediamolo nel caso della retta indicata in figura 18. Essa ha equazione:

y = 2x - 6

Possiede, pertanto, un coefficiente angolare pari a 2 ed un\'intercetta eguale a -6. In simboli:

m = 2
q = -6

sostituendo:

x0 = -q/m = 3

Che rappresenta proprio, se si osserva il grafico con attenzione, il punto in cui la retta interseca l\'asse delle ascisse.

[Mauro]

Ed ora iniziamo con quanto promesso. Gli esempi dei quali mi avvarrò per illustrare quei sei Payoff, ma anche nel prosieguo dei successivi interventi, faranno riferimento al noto sottostante DJ EuroStoxx 50. Ricordo, per chi non lo avesse mai trattato, che si tratta di un indice della borsa Eurex che rappresenta un paniere che contiene i 50 titoli europei a maggiore capitalizzazione.
Il future e le opzioni scritte su questo indice sono trattate nella stessa borsa Eurex. Il future ha un tick di un punto il cui valore è 10,00 euro. Le opzioni hanno un tick di 0.1 punti. Il valore monetario del punto è lo stesso del future: 10,00 euro. Il sottostante controllato da future ed opzioni è il medesimo (e questa è una comodità, per certi versi; cosa che non accade con il Dax, ad esempio, dove il future controlla un sottostante che è 5 volte quello controllato da una singola opzione).

Altra cosa. Userò FiutoPro, per illustrare i vari Payoff. Se qualcuno degli utenti di FiutoBeta lo desiderasse, potrò far vedere le stesse figure con FiutoBeta: sarà sufficiente che me lo espliciti.

[Mauro]

Partiamo.

Acquisto di un future

Indichiamo con
f: payoff del contratto future acquistato (in sostanza è l\'ordinata y)
S: valore del future (corrisponde all\'ascissa x)
S0: valore del future al momento dell\'acquisto

Acquistiamo allora un future ed osserviamone il Payoff su FiutoPro. Lo riporto in figura 19.