Per comprendere il Payoff di una figura

[Mauro]

Ed ora cerchiamo di scrivere l\'equazione di questa retta. Dobbiamo ricavare dal grafico i parametri m e q. Come facciamo? Per il coefficiente angolare, m, occorre fissare un incremento della variabile S ed andare a leggere il corrispondente incremento della variabile f.

Supponiamo di aver individuato l\'incremento, lungo l\'asse S:
2588.27 - 2587.34

in corrispondenza di questo avremo un incremento, lungo l\'asse f:
20 - 10

quindi, per m:

m = (20-10) / (2588.27-2587.34)

questo rapporto è circa eguale a 10. Non lo è esattamente, ma solo per questioni di approssimazione nella lettura del grafico. Ci torniamo dopo.

Ed ora calcoliamo q. Qui ci rendiamo conto che non possiamo leggere l\'intercetta in quanto l\'asse delle ordinate non incrocia quello delle ascisse nell\'origine, ma nel punto 2583.469 (visualizzato, in figura, all\'interno di un circoletto rosso). Quindi il punto in cui la retta interseca l\'asse delle f non corrisponde all\'intercetta q.
E allora? Come facciamo? Ci sono solo due possibilità: o ampliamo la scala delle ascisse fino ad arrivare a zero (ed ho visto che questa operazione, con FiutoPro, non è possibile); oppure facciamo il calcolo per via simbolica.
Seguiamo questa strada. Abbiamo fatto vedere, prima, che il punto in cui la retta interseca l\'asse delle y corrisponde a: -q/m. Possiamo allora scrivere:

So = - q/m

da cui:

q = - m * So = - 10 * 2586 = -25860

L\'equazione cercata, pertanto, è:

f = 10 S - 25860

[Mauro]

Seguiamo ora una strada interamente simbolica.

Noi sappiamo che se compriamo un future a 2586, per ogni punto di incremento avremo un guadagno (leggi Payoff) pari a 10 euro. Ovvero:

f = 10(S - So)

giusto?

Che possiamo anche scrivere:

f = 10 S - 10 So

dalla quale si riconosce il coefficiente angolare, m, che vale 10; ed il termine noto, q, che vale -10 So, ovvero -25860.
Come si può vedere, la strada simbolica conduce ad un calcolo, per m, che non è approssimato: esso vale esattamente 10.

Ciò che abbiamo trovato, quindi, è l\'equazione generale del Payoff di un future acquistato. Osservate che il coefficiente angolare rappresenta proprio quanto si incrementa la variabile f per un incremento unitario della variabile S.
E l\'intercetta, invece, corrisponde alla massima perdita: raggiungibile quando la variabile S vale zero.

[Mauro]

Vendita di un future.


Osserviamone il Payoff in figura 21. L\'analisi appena condotta per determinare l\'equazione del Payoff di un future in acquisto la possiamo sfruttare per determinare l\'equazione del Payoff di un future in vendita.

Seguendo la strada simbolica possiamo scrivere:

f = -10(S - So)

La presenza del segno "-" sta ad indicare che per incrementi positivi della variabile S si avranno incrementi negativi della variabile f. In sostanza perderemo. E viceversa.
Sviluppando i calcoli si ottiene:

f = -10 S + 10 So

Come si può osservare, in definitiva, abbiamo un coefficiente angolare negativo ed un\'intercetta positiva, che rappresenta il massimo guadagno ottenibile da una posizione di questo tipo in corrispondenza di un azzeramento del valore del future.

[Mauro]

Prima di passare al Payoff delle quattro posizione base delle opzioni vorrei fare una considerazione.

Il coefficiente angolare di una posizione in future non può avere un valore qualunque. Se acquistassimo 2 future esso varrebbe 20. Se fossero 3 varrebbe 30, e così via. E, mutatis mutandis, per una posizione in vendita: -10 per un future, -20 per due, e così via.

In sostanza, mutuando - dalla meccanica quantistica - uno dei concetti in essa cardini: l\'energia posseduta da un elettrone è quantizzata, ossia assume solo particolari valori, potremmo dire, analogamente, che il coefficiente angolare di una posizione in future è quantizzato.

Qualcosa di analogo si può affermare per le opzioni. In questo caso, però, è necessario sottolineare che tale quantizzazione vale solo per la curva del Payoff. Per l\'AtNow, invece, le cose cambiano. Ma questa è un\'altra storia!

A più tardi.

[Apocalips]

Qualcosa di analogo si può affermare per le opzioni. In questo caso, però, è necessario sottolineare che tale quantizzazione vale solo per la curva del Payoff. Per l\'AtNow, invece, le cose cambiano. Ma questa è un\'altra storia!

A più tardi.

Mauro tutto molto interessante, a noi però è proprio l\'AT now quello che ci interessa essendo la curva su cui noi facciamo trading!!!. Il pay off a scadenza e l\'equazione matematica che lo regola è buona a sapersi al livello accademico ma inutile all\'atto pratico.

Comunque prosegui e complimenti per il rigore e la chiarezza espositiva.

Apo

[Mauro]

Ti ringrazio per l\'intervento.

Mauro tutto molto interessante, a noi però è proprio l\'AT now quello che ci interessa essendo la curva su cui noi facciamo trading!!!.

Si, hai ragione. Il problema è che questa è una sezione per neofiti: trattare l\'AtNow implica due profonde complicazioni concettuali:
a) la complessità della formula di Black&Scholes (B&S), necessaria per poter descrivere matematicamente la curva dell\'AtNow;
b) la difficoltà di fare congetture attendibili circa l\'evoluzione della volatilità implicità al variare del sottostante.

Tieni conto, inoltre, che mentre il primo aspetto implica "semplicemente" ostacoli concettuali sul fronte matematico, comunque inclusi nel campo del deterministico, il secondo aspetto, invece, comporta questioni che possono essere trattate solo nel campo del probabile (per esempio per mezzo dei processi stocastici).

Il pay off a scadenza e l\'equazione matematica che lo regola è buona a sapersi al livello accademico ma inutile all\'atto pratico.
...
Apo

Su questo sono meno d\'accordo. A parte il valore didattico insito nella comprensione del Payoff di una figura che, tieni conto, è comunque la proiezione di quello che è l\'obiettivo della nostra strategia (almeno a livello statico).
Tieni conto, inoltre, che i segmenti e le semirette che delineano il contorno di un Payoff sono anche quegli asintoti della curva dell\'AtNow con la quale tendono a "confondersi" in determinati intervalli di variazione del sottostante.

[Mauro]

Acquisto di una call (di stile europeo)

Indichiamo con
c: payoff della call (è l\'ordinata y)
S: valore del sottostante (corrisponde all\'ascissa x)
ST: valore del sottostante al momento della scadenza dell\'opzione
K: valore dello strike
cp: premio pagato per l\'acquisto della call

Acquistiamo una call, strike 2500, al prezzo di 698,00 euro (69.8 punti). Cerchiamo di determinare il Payoff della relativa figura (fig.22). Come ben sappiamo si tratta di una spezzata. Nella letteratura del settore tale Payoff viene simbolicamente rappresentato nel seguente modo:

max [(ST-K)*10 - cp, -cp]

tale scrittura ha il seguente significato: a scadenza, occorre considerare il massimo tra (ST-K)*10 - cp e -cp. Facciamo un paio di esempi numerici. Supponiamo che il settlement sia eguale a 2580. Dovremo allora confrontare:

(ST-K)*10 - cp = (2580-2500)*10 - 698 = 102,00 euro

e

- cp = - 698,00 euro

Avremo, quindi, che:

max [(ST-K)*10 - cp, -cp] = 102,00 euro

Se, invece, il settlement fosse eguale a 2470, dovremo confrontare le quantità:

(ST-K)*10 - cp = (2470-2500)*10 - 698 = - 998,00 euro

e

- cp = - 698,00 euro

Avremo, quindi, che:

max [(ST-K)*10 - cp, -cp] = - 698,00 euro

In luogo di questa scrittura, invece, opteremo per quella della doppia equazione. L\'ho riportata in figura dopo la parentesi graffa. Tale scrittura è preferibile, come vedremo in seguito, quando si analizza il Payoff di un portafoglio di opzioni e/o future.

[Mauro]

Vendita di una call (di stile europeo)

Vendiamo una call, strike 2500, al prezzo di 557,00 euro (55.7 punti). Cerchiamo di determinare il Payoff della relativa figura (fig.23).
Senza ripetere l\'analisi già condotta per l\'acquisto di una call facciamo vedere, con un paio di esempi, che l\'equazione che descrive il Payoff di questa posizione è quella indicata in figura 23 dopo la parentesi graffa.

Supponiamo che il settlement, ST, sia eguale a 2580. Siamo nel caso ST > K. Allora avremo:

c = - (2580-2500)*10+557= -243,00 euro

Se, invece, il settlement fosse eguale a 2470, ci troveremmo nel caso ST < K. Avremo allora:

c = 557,00 euro

[Mauro]

Acquisto di una put (di stile europeo)

Indichiamo con
p: payoff della put (è l\'ordinata y)
S: valore del sottostante (corrisponde all\'ascissa x)
ST: valore del sottostante al momento della scadenza dell\'opzione
K: valore dello strike
pp: premio pagato per l\'acquisto della put

Acquistiamo una put, strike 2500, al prezzo di 135,00 euro (13.5 punti). Cerchiamo di determinare il Payoff della relativa figura (fig.24). Anche qui, come ben sappiamo, si tratta di una spezzata.

Non ripeto l\'analisi, che lascio al lettore volenteroso, e propongo, direttamente nella figura, l\'equazione cercata.

Provate a fare qualche verifica, con un esempio, per vedere se l\'equazione vi torna.

[Mauro]

Vendita di una put (di stile europeo)

Vendiamo una put, strike 2400, al prezzo di 536,00 euro (53.6 punti). Cerchiamo di determinare il Payoff della relativa figura (fig.25). Ancora una volta, abbiamo a che fare con una spezzata.

L\'espressione analitica di questa figura è quella riportata in figura 25.


Anche in questo caso, dovrebbe essere doveroso, una verifica dell\'equazione proposta andrebbe fatta.

[Mauro]

Ora che conosciamo l\'equazione di ciascuna delle sei figure base possiamo, finalmente, affrontare la determinazione dell\'equazione del Payoff di un qualunque portafoglio di opzioni.

Nel prossimo intervento proverò ad illustrare il Payoff di alcune semplici figure. E sempre nel prossimo, o nel successivo, vedremo anche di mettere a confronto il Payoff di un\'opzione sintetica con quella non sintetica. Discussione già affrontata in altri thread e che, mi sembra, abbia sollecitato l\'interesse di molti forumer.

Buona lettura.

[Camillo]

payoff

Mauro, ti faccio tantissimi complimenti;
Vorrei però fare una precisazione al tuo post del 29/7 ore 12:19, che, così come spiegato, potrebbe creare false aspettative:
Le due figure ( che chiaramente sono acquisto call e acquisto put di strike superiore) non si incontrano necessariamente sulla linea dello zero (o ascisse) ma in un punto intermedio fra i due strikes. Per far incontrare le due figure sull\'asse delle ascisse, occorre che il valore temporale delle due opzioni sia uguale a zero.
Ancora complimenti
camillo

[Mauro]

Ciao Camillo, ti ringrazio.


Se ho capito bene, relativamente al post al quale ti riferisci - in sostanza quello etichettato #53 - la precisazione che tu offri è in merito alle aspettative, ma non alla correttezza matematica di quanto indicato in tale post (e nei successivi) giusto? Se è così sono d\'accordo. Infatti quello è solo un esempio assolutamente non tratto dalla realtà (delle opzioni prezzate dai mm).

D\'altronde, ora che ho concluso con la parte introduttiva, è mia intenzione far vedere come si costruisce il Payoff di un portafoglio di opzioni e future facendo vedere, inizialmente, tutte quelle figure che potremmo chiamare di base.

Un saluto.

[Camillo]

Aspettative

Certamente, parlo di aspettative. Nulla sulla correttezza delle equazioni.
Ti invito caldamente a continuare perchè il lavoro è interessantissimo, oltre a richiamarmi ai tempi (indimenticati) di scuola.
Peccato che lo studio non sia sul ftse mib, perchè i suoi derivati permettono di modificare il coefficiente m anche di mezzo punto, che fa un gran comodo.
Scrivi presto.
camillo

[DANYBONNYM]

Bravo Mauro,
anche io trovo coinvolgente ciò che scrivi (e come lo scrivi). Pertanto mi associo a Camillo nell\' invitarti a proseguire.
Buona serata a tutti
Marco