Per comprendere il Payoff di una figura

[Apocalips]

Qualcosa di analogo si può affermare per le opzioni. In questo caso, però, è necessario sottolineare che tale quantizzazione vale solo per la curva del Payoff. Per l\'AtNow, invece, le cose cambiano. Ma questa è un\'altra storia!

A più tardi.

Mauro tutto molto interessante, a noi però è proprio l\'AT now quello che ci interessa essendo la curva su cui noi facciamo trading!!!. Il pay off a scadenza e l\'equazione matematica che lo regola è buona a sapersi al livello accademico ma inutile all\'atto pratico.

Comunque prosegui e complimenti per il rigore e la chiarezza espositiva.

Apo

[Mauro]

Prima di passare al Payoff delle quattro posizione base delle opzioni vorrei fare una considerazione.

Il coefficiente angolare di una posizione in future non può avere un valore qualunque. Se acquistassimo 2 future esso varrebbe 20. Se fossero 3 varrebbe 30, e così via. E, mutatis mutandis, per una posizione in vendita: -10 per un future, -20 per due, e così via.

In sostanza, mutuando - dalla meccanica quantistica - uno dei concetti in essa cardini: l\'energia posseduta da un elettrone è quantizzata, ossia assume solo particolari valori, potremmo dire, analogamente, che il coefficiente angolare di una posizione in future è quantizzato.

Qualcosa di analogo si può affermare per le opzioni. In questo caso, però, è necessario sottolineare che tale quantizzazione vale solo per la curva del Payoff. Per l\'AtNow, invece, le cose cambiano. Ma questa è un\'altra storia!

A più tardi.

[Mauro]

Vendita di un future.


Osserviamone il Payoff in figura 21. L\'analisi appena condotta per determinare l\'equazione del Payoff di un future in acquisto la possiamo sfruttare per determinare l\'equazione del Payoff di un future in vendita.

Seguendo la strada simbolica possiamo scrivere:

f = -10(S - So)

La presenza del segno "-" sta ad indicare che per incrementi positivi della variabile S si avranno incrementi negativi della variabile f. In sostanza perderemo. E viceversa.
Sviluppando i calcoli si ottiene:

f = -10 S + 10 So

Come si può osservare, in definitiva, abbiamo un coefficiente angolare negativo ed un\'intercetta positiva, che rappresenta il massimo guadagno ottenibile da una posizione di questo tipo in corrispondenza di un azzeramento del valore del future.

[Mauro]

Seguiamo ora una strada interamente simbolica.

Noi sappiamo che se compriamo un future a 2586, per ogni punto di incremento avremo un guadagno (leggi Payoff) pari a 10 euro. Ovvero:

f = 10(S - So)

giusto?

Che possiamo anche scrivere:

f = 10 S - 10 So

dalla quale si riconosce il coefficiente angolare, m, che vale 10; ed il termine noto, q, che vale -10 So, ovvero -25860.
Come si può vedere, la strada simbolica conduce ad un calcolo, per m, che non è approssimato: esso vale esattamente 10.

Ciò che abbiamo trovato, quindi, è l\'equazione generale del Payoff di un future acquistato. Osservate che il coefficiente angolare rappresenta proprio quanto si incrementa la variabile f per un incremento unitario della variabile S.
E l\'intercetta, invece, corrisponde alla massima perdita: raggiungibile quando la variabile S vale zero.

[Mauro]

Ed ora cerchiamo di scrivere l\'equazione di questa retta. Dobbiamo ricavare dal grafico i parametri m e q. Come facciamo? Per il coefficiente angolare, m, occorre fissare un incremento della variabile S ed andare a leggere il corrispondente incremento della variabile f.

Supponiamo di aver individuato l\'incremento, lungo l\'asse S:
2588.27 - 2587.34

in corrispondenza di questo avremo un incremento, lungo l\'asse f:
20 - 10

quindi, per m:

m = (20-10) / (2588.27-2587.34)

questo rapporto è circa eguale a 10. Non lo è esattamente, ma solo per questioni di approssimazione nella lettura del grafico. Ci torniamo dopo.

Ed ora calcoliamo q. Qui ci rendiamo conto che non possiamo leggere l\'intercetta in quanto l\'asse delle ordinate non incrocia quello delle ascisse nell\'origine, ma nel punto 2583.469 (visualizzato, in figura, all\'interno di un circoletto rosso). Quindi il punto in cui la retta interseca l\'asse delle f non corrisponde all\'intercetta q.
E allora? Come facciamo? Ci sono solo due possibilità: o ampliamo la scala delle ascisse fino ad arrivare a zero (ed ho visto che questa operazione, con FiutoPro, non è possibile); oppure facciamo il calcolo per via simbolica.
Seguiamo questa strada. Abbiamo fatto vedere, prima, che il punto in cui la retta interseca l\'asse delle y corrisponde a: -q/m. Possiamo allora scrivere:

So = - q/m

da cui:

q = - m * So = - 10 * 2586 = -25860

L\'equazione cercata, pertanto, è:

f = 10 S - 25860

[Mauro]

Partiamo.

Acquisto di un future

Indichiamo con
f: payoff del contratto future acquistato (in sostanza è l\'ordinata y)
S: valore del future (corrisponde all\'ascissa x)
S0: valore del future al momento dell\'acquisto

Acquistiamo allora un future ed osserviamone il Payoff su FiutoPro. Lo riporto in figura 19.

[Mauro]

Ed ora iniziamo con quanto promesso. Gli esempi dei quali mi avvarrò per illustrare quei sei Payoff, ma anche nel prosieguo dei successivi interventi, faranno riferimento al noto sottostante DJ EuroStoxx 50. Ricordo, per chi non lo avesse mai trattato, che si tratta di un indice della borsa Eurex che rappresenta un paniere che contiene i 50 titoli europei a maggiore capitalizzazione.
Il future e le opzioni scritte su questo indice sono trattate nella stessa borsa Eurex. Il future ha un tick di un punto il cui valore è 10,00 euro. Le opzioni hanno un tick di 0.1 punti. Il valore monetario del punto è lo stesso del future: 10,00 euro. Il sottostante controllato da future ed opzioni è il medesimo (e questa è una comodità, per certi versi; cosa che non accade con il Dax, ad esempio, dove il future controlla un sottostante che è 5 volte quello controllato da una singola opzione).

Altra cosa. Userò FiutoPro, per illustrare i vari Payoff. Se qualcuno degli utenti di FiutoBeta lo desiderasse, potrò far vedere le stesse figure con FiutoBeta: sarà sufficiente che me lo espliciti.

[Mauro]

Seguitemi un momento e lo vedremo subito. Tale punto, essendo ubicato sull\'asse delle x, deve necessariamente avere un\'ordinata pari a zero. Sarà sufficiente, quindi, imporre nell\'equazione generale della retta:

y = 0

e risolvere rispetto ad x. In sostanza, dovremo risolvere l\'equazione:

0 = mx + q

che conduce a:

x = -q/m

Quindi, indicando con x0, l\'ascissa dell\'intersezione della retta con l\'asse x, avremo:

x0 = -q/m

Vediamolo nel caso della retta indicata in figura 18. Essa ha equazione:

y = 2x - 6

Possiede, pertanto, un coefficiente angolare pari a 2 ed un\'intercetta eguale a -6. In simboli:

m = 2
q = -6

sostituendo:

x0 = -q/m = 3

Che rappresenta proprio, se si osserva il grafico con attenzione, il punto in cui la retta interseca l\'asse delle ascisse.

[Mauro]

Prima, però, è necessario che completi una questione che sarebbe stato opportuno trattare in uno degli interventi precedenti e che ci tornerà utile nel prosieguo.

Si tratta di questo: come è legata l\'ascissa di intersezione di una retta con il proprio coefficiente angolare e con la propria intercetta?

Mi spiego meglio con un grafico. Il punto in cui la retta interseca l\'asse delle x, che ho indicato in figura con x0, non compare in modo esplicito tra i parametri della retta: m e q. Come possiamo, allora, calcolare tale punto? O, anche, come possiamo legare tale punto ai valori di m e q?

[Mauro]

Salve a tutti.

Con l\'intervento di oggi ci addentreremo nella descrizione analitica del Payoff delle sei figure base:


1) acquisto di un future;
2) vendita di un future;
3) acquisto di una call;
4) vendita di una call;
5) acquisto di una put;
6) vendita di una put.

[Mauro]

Ed ora proviamo a fare la somma di queste due funzioni in modo grafico. Facciamo riferimento alla figura 17. La prima retta è stata riportata con un tratto bleu. La seconda con un tratto rosso. E la retta somma con un tratto nero a spessore doppio.

Concentriamoci su quel che accade nel primo intervallo: x<5. La prima retta è costante e vale -2; la seconda, invece, è variabile. La loro somma (provate ad immaginare di farla punto per punto), sarà ancora una retta variabile che dovrà essere traslata verso il basso di una quantità pari a 2. Provate a vedere, ad esempio, cosa accade nel puto di ascissa x=4. La prima retta, essendo costante, varrà -2. La seconda, sostituendo nella sua relazione analitica ( - x + 7 ) la x pari a 4, ci restituirà +3. La somma tra + 3 e - 2 ci darà 1. Più lungo a spiegarsi che a farlo vedere sul grafico!

E, in modo analogo, per ciascuno degli altri tre intervalli.

Vorrei che notaste una particolarità: nell\'intervallo centrale la somma delle due rette ci restituisce una quantità costante (ed in questo caso pari a 0). Perchè? Perchè i due coefficienti angolari sono eguali ma opposti e, quindi, la loro somma è nulla. Ho voluto evidenziare questa particolarità in quanto ci sarà molto utile quando ragioneremo sul Payoff delle opzioni.

Direi che con questo terzo intervento la parte matematica la possiamo considerare conclusa.
Alla prossima.

[Mauro]

Per eseguire la somma di queste due funzioni occorre operare in questo modo. Innanzitutto vanno individuati gli intervalli della x che sono comuni ad entrambe le curve. In questo caso abbiamo tre intervalli:
1) x < 5 (x minore di 5 o, equivalentemente, x compreso tra meno infinito e 5)
2) 5 < x < 10 (x compreso tra 5 e 10)
3) x > 10 (x maggiore di 10 o, equivalentemente, x compreso tra 10 e più infinito)

Poi si esegue la somma delle due funzioni (come abbiamo fatto vedere in precedenza) in ciascuno dei tre intervalli.
Vediamolo nel dettaglio.

Intervallo: x < 5

In questo intervallo la prima funzione vale: -2, e la seconda funzione vale: - x + 7; la loro somma, pertanto, sarà: - x + 5.

Intervallo: 5 < x < 10

In questo intervallo la prima funzione vale: x - 7, e la seconda funzione vale: - x + 7; la loro somma, pertanto, sarà: 0.

Intervallo: x > 10

In questo intervallo la prima funzione vale: x - 7, e la seconda funzione vale: - 3; la loro somma, pertanto, sarà: x - 10.

Vediamo il risultato finale nella figura 16.

[Mauro]

Ed ora, a conclusione dell\'intervento odierno, proviamo a mettere assieme le conoscenze proposte: proviamo, cioè, ad eseguire la somma di due spezzate.

Consideriamo, dapprima, la spezzata riportata in figura 14 con la relativa equazione (ricorda qualcosa?)

E poi quella riportata in figura 15 (anche questa, dovrebbe risultare familiare!)

Ed ora proviamo ad eseguire la somma. Prima in forma simbolica e poi, anche in modo più intuitivo, in forma grafica.

[Mauro]

Il risultato è riportato nella figura 13.


Notate che la retta somma ha un coefficiente angolare maggiore di ciascuna delle due rette componenti (osservate come la sua inclinazione sia maggiore) ed un\'intercetta che è la somma algebrica delle due singole intercette (osservate che passa per il punto dell\'asse y di ordinata -1).

[Mauro]

Vediamo un esempio.


Supponiamo di volere sommare le rette:

y = 3x - 2
y = x + 1

illustrate nella figura 12.

Che cosa otterremo?