Per comprendere il Payoff di una figura

[Mauro]

In generale:

y = m1x+q1

y = m2x+q2

y = (m1+m2)x + (q1+q2)

In sostanza,

il coefficiente angolare della funzione somma è la somma dei singoli coefficienti angolari;

e, analogamente,

l\'intercetta della funzione somma è la somma delle singole intercette.

[Mauro]

Ora, supponiamo di avere un sistema molto semplice: costituito da due sottosistemi lineari. Supponiamo che una determinata variabile del primo sottosistema sia descritta dall\'equazione:

y = 2x + 3

e che la medesima variabile, ma del secondo sottosistema, sia descritta dall\'equazione:

y = x +1

In che modo sarà descritta la variabile in esame del sistema generale? Se sussistono quelle ipotesi di cui ho accennato prima (e che per il Payoff di un portafogli di opzioni sussistono) avremo:

y = 2x + 3 + x + 1

ovvero:

y = 3x + 4

[Mauro]

Grafico ed espressione analitica di una retta che è somma di due o più rette

Devo fare una doverosa premessa. Sappiamo che esistono sistemi, artificiali o in natura, che sono costituiti da sottosistemi. In taluni casi è possibile descrivere matematicamente il sistema partendo dalle descrizioni matematiche dei sottosistemi e sommandole tra loro. E\' il caso, anche se non lo dimostrerò, del portafoglio di un insieme di opzioni e/o future.

[Mauro]

Come ho già anticipato è possibile avere una funzione che in un determinato intervallo assume l\'andamento di una parabola ed in un altro quello di una sinusoide (come indicato nella figura 11). Ma per gli scopi di questo thread la questione non ci interessa (diverso, invece, è il caso in cui volessimo disegnare il grafico dell\'Atnow di un portafoglio di opzioni e future).

Bene. Su questo credo di aver detto tutto l\'essenziale. Naturalmente, se ci sono domande, non esitate.

[Mauro]

Partiamo.
Espressione analitica di una spezzata

Osserviamo il grafico riportato in figura 10. Si tratta di due andamenti distinti descritti dalle rette di equazione:

y = x +1

y = - x +1

Il primo di questi andamenti è valevole per tutti i punti di ascissa inferiore a 3. Il secondo per tutti quelli superiori a 3.

Convenzionalmente i matematici rappresentano quest\'unica funzione con quella doppia scrittura, preceduta da una parentesi graffa, così come ho indicato nella figura in esame.

[Mauro]

Con questo terzo intervento vorrei concludere la parte matematica che ritengo necessaria per gli scopi proposti.
Due sono gli argomenti che intendo trattare:
a) espressione analitica di una spezzata;
b) grafico ed espressione analitica di una funzione che è somma di due o più funzioni.

Limiterò la trattazione di questi due argomenti al caso delle rette (o curve del primo ordine) perchè sono le funzioni che ci serviranno per analizzare il Payoff di un\'opzione, future o combinazione di questi. Naturalmente il discorso potrebbe essere fatto per curve di qualunque ordine.

[Mauro]

Ottimo Antonio. Esercizio corretto.

[antoniokk]

Io le scriverei cosi:
a) Y=1/2X+1
b) Y=2X-3
c) Y=-3X

[Mauro]

Ecco, credo che a questo punto ci siamo. Terminerei questo secondo intervento con alcuni esercizi. E\' bene che proviate a risolverli, per capire se i concetti esposti sono chiari.

Alla prossima!

Scrivere l\'equazione di ciascuna delle tre rette indicate in figura.

[Mauro]

Vediamolo in figura 8.

Abbiamo scelto, quale incremento della x, l\'intervallo sull\'asse x, compreso tra i punti di ascissa 5 e 6. Il corrispondente intervallo sull\'asse delle ordinate è sempre tra i punti 5 e 6. Allora, calcoliamo gli incrementi:

Dx = 6 -5 = 1

Dy = 6- 5 = 1

m = Dy / Dx = 1 / 1 = 1

E, infatti, il coefficiente angolare di quella retta è proprio 1.



Qualcuno potrebbe obiettare:


ma il coefficiente angolare dipende dalla scelta che facciamo dell\'incremento Dx; e quindi è soggettivo!



E no, nel modo più assoluto. Provate, per esercizio, a prendere un incremento diverso della x: che so, tra 5 e 7. Poi valutate il corrispondente incremento della y, fatene il rapporto e troverete sempre 1. Provate!

[Mauro]

Per concludere la questione sul coefficiente angolare occorre, però, darne una definizione - direi - più operativa.

In sostanza, bisogna saper rispondere a questa domanda: ma se io ho il grafico di una retta, come determino il valore del coefficiente angolare?

Ecco la definizione. Dato un incremento della x, il coefficiente angolare è il rapporto tra il corrispondente incremento della y e l\'incremento della x medesimo.

[Mauro]

Insomma, se il coefficiente angolare è positivo, allora la retta interesserà il I° ed il III° quadrante.

Viceversa, se è negativo, interesserà il II° ed il IV° quadrante (i quadranti sono indicati in figura 7).

[Mauro]

E se il coefficiente angolare fosse negativo?


Vediamo, anche in questo caso, qualche esempio.

[Mauro]

Qualcuno potrebbe chiedere: si ma quant\'è in gradi, quest\'angolazione?

Per rispondere a questa domanda occorre passare alla trigonometria, dopo aver dimostrato che il coefficiente angolare di una retta è pari alla tangente trigonometrica dell\'angolo che tale retta forma con l\'asse delle ascisse.

Per la retta y=x, ad esempio, m=1; se calcoliamo l\'arco la cui tangente è pari ad 1 troviamo 45° (potete provare con una calcolatrice scientifica; o anche con excel).

Ma per i nostri obiettivi la questione direi che non ci interessa (per fortuna!).

[Mauro]

Osservate.

La retta y=2x, che ha m=2, è più inclinata della retta y=x, che ha m=1.

Ma è meno inclinata della retta y=3x, che ha m=3.

Infine, la retta con m=0.5, è quella meno inclinata fra tutte.

E se m=0? Avremo una retta che non ha inclinazione (o inclinazione nulla!). Come quella riportata in figura 4.